Algorithmische Mathematik by Winfried Hochstättler (auth.)

By Winfried Hochstättler (auth.)

Mit diesem Buch wollen wir verschiedene Teilgebiete der Mathematik aus algorithmischer Perspektive vorstellen und dabei auch Implementierungs- und Laufzeitaspekte diskutieren. Gleichzeitig möchten wir, bei einer verkürzten Grundausbildung in Mathematik in naturwissenschaftlichen und informatischen Studiengängen, möglichst viele Teilaspekte der Mathematik vorstellen und vielleicht zu einer vertiefenden Beschäftigung mit dem einen oder anderen Aspekt anregen.

Unser Ziel ist es dabei nicht, den Leser zu einem versierten Anwender der besprochenen Algorithmen auszubilden, sondern wir wollen, immer ausgehend von konkreten Problemen, examine- und Lösungsstrategien in den Mittelpunkt stellen. Hierbei spielen insbesondere Beweise und Beweistechniken eine zentrale Rolle.

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Als n¨achstes untersuchen wir Primzahlpotenzen n = pk mit k ∈ N , k ≥ 2. Wir z¨ahlen dann alle Zahlen ≤ pk , die keine Vielfachen von p sind, das sind pk − pk−1 = pk (1 − 1p ) St¨uck. Sei nun n ≥ 1 eine beliebige nat¨urliche Zahl. Dann kann man sie in ihre Primfaktoren zerlegen: n = pα1 1 pα2 2 . . pαr r , wobei p1 , . . , pr die verschiedenen Primteiler von n sind, also αi ≥ 1. Dann setzen wir Ai := {m ∈ {1, 2, . . , n} | pi teilt m}. Dann ist ϕ (n) = n − |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ar |. i∈I Ai Die Menge sind, also f¨ur 0/ = I ⊆ {1, .

N(n−1) . Also haben wir E(F 2 ) = 1 + 2 ∑ 1≤i< j≤n E(Fi Fj ) = 1 + 2 n2 = 1 + 1 = 2. n(n − 1) Somit ist V (F) = E(F 2 ) − (E(F))2 = 2 − 1 = 1. Man sagt auch, dass eine Permutation im Mittel 1 ± 1 Fixpunkte hat. Hierbei steht die erste 1 f¨ur E(F) , die zweite f¨ur V (F). 35. 11 a), b), d) und e). 12. 36. In einer Allee stehen 50 Kastanien – je 25 auf jeder Seite, von denen 10, die nebeneinander stehen, erkrankt sind. Legt diese Tatsache den Schluss nahe, dass die Krankheit von Baum zu Baum u¨ bertragen wird?

2. 9. 1 sehen wir links das H ASSE-Diagramm der Teilbarkeitsrelation a ≤ b ⇔ a teilt b auf der Menge {1, 2, . . , 11, 12} und rechts das der Teilmengenrelation der Potenzmenge von {1, 2, 3, 4}. { 1, 2, 3, 4} 12 9 8 6 10 4 5 3 { 2, 3, 4} { 1, 2, 3} 7 11 2 { 1} { 2} { 3} { 4} 1 Ø Abb. 10. Sei (Σ , ≤) eine endliche total geordnete Menge. Ist m ∈ N und w ∈ Σ m , so nennen wir w ein Wort u¨ ber Σ . Die Menge aller W¨orter u¨ ber Σ (beliebiger L¨ange m ) bezeichnen wir mit Σ ∗ . Wir betrachten folgende Relation auf den W¨ortern u¨ ber Σ .

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